L2 - 3. Explique e exemplifique Sistema de Numeração Posicional e Sistema de Numeração Não Posicional?

Para encerrar esta lição e favorecer a compreensão do nosso sistema de numeração, vamos confrontá-lo com os sistemas de numeração egípcio e romano. Faremos esta comparação apontando as características básicas desses sistemas.

1) Base
Como vimos, a base de um sistema é a quantidade escolhida no processo de agrupar e reagrupar.

• no nosso sistema a base é dez;
• no egípcio a base é dez;
• no romano a base é dez.

Note que, no sistema romano, os símbolos são sempre reagrupados de dez em dez: dez "I" formam um "X", dez "X" formam um "C", dez "C" formam um "M".
Neste ponto, pode surgir uma dúvida, pois cinco "I" são substituídos por um "V". Entretanto, não existem reagrupamentos de cinco. Cinco "V" não são trocados por um símbolo novo. Os símbolos "V", "L" e "D", que indicam 5, 50 e 500 são utilizados somente para simplificar a escrita. Portanto, podemos afirmar que a base do sistema romano é mesmo 10.

2) Valor posicional

• nosso sistema é posicional; 51 é diferente de 15;
• o egípcio não é posicional; é indiferente escrever doze assim:
• ou asssim: ;
• o romano é posicional, mas não no mesmo sentido do nosso sistema. É diferente escrever VI ou IV.

3) Zero

• nosso sistema tem um símbolo para o nada;
• o egípcio não tem zero;
• romano não tem zero.

4) Princípio multiplicativo

O número posicional, como o nosso, baseia-se no princípio multiplicativo: cada algarismo representa o produto dele mesmo pelo valor de sua posição. Por exemplo: na nossa maneira de escrever o número 245.
Nos sistemas egípcio e romano não vale o princípio multiplicativo.

5) Princípio aditivo

O número representado é a soma dos valores que cada um dos símbolos representa. O princípio aditivo comparece nos três sistemas:

• no nosso sistema, 245 = 200 + 40 + 5;
• no egípcio , = 100 + 100 + 10 + 1 + 1 + 1;
• no romano, CXXVII = 100 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 .

Entretanto, no sistema romano, o princípio aditivo precisa ser aplicado com cuidado, porque nele existe também o princípio subtrativo. Por exemplo:
A leitura correta : CXLIX = 100+(50-10)+(10-1)
Uma leitura errada seria: CXLIX = 100+10+50+1+10

6) Quantidades de símbolos diferentes
Quantos símbolos diferentes são necessários para escrever qualquer número?

• no nosso sistema, com apenas dez sinais diferentes, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0, escrevemos qualquer número (isto é fantástico!!);
• no egípcio e no romano, por mais que se criassem novos símbolos, sempre seria possível pensar num número que, para ser escrito, precisaria de um novo símbolo. Assim, seriam necessários infinitos símbolos.